Heize den Ofen auf 200 °C Ober- und Unterhitze vor und belege ein Backblech mit Backpapier.
Rolle den Blätterteig auf einem Backblech mit Backpapier aus. Für eine runde Galette schneidest du einen großen Kreis aus dem Teig und legst ihn auf das Backblech.
Schäle die Zwiebeln und schneide sie in feine Ringe. Erhitze die Butter und das Olivenöl in einer Pfanne und dünste die Zwiebelringe darin unter Rühren leicht goldbraun an. Füge dann Zucker und Balsamico-Essig hinzu und lass die Zwiebeln karamellisieren und schmecke sie mit Salz und Pfeffer ab.
Zerbrösele den Feta gleichmäßig auf dem Blätterteig und lasse dabei einen Rand von 2-3 cm frei. Verteile anschließend die karamellisierten Zwiebeln darüber. Schlage den Rand des Blätterteigs danach leicht über den Belag.
Verquirle das Ei und bestreiche den Rand der Galette damit. Streue frischen Thymian über die Zwiebeln und schiebe die Blätterteig-Galette in den vorgeheizten Backofen. Backe die Galette für 20 bis 25 Minuten auf mittlerer Schiene, bis der Teig goldbraun und knusprig ist.